Inhaltsverzeichnis
4. Automatische grafische Darstellung
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4. Automatische grafische Darstellung
Nicht jede Struktur lässt sich zweidimensional so darstellen, dass sich keine Glieder gegenseitig überschneiden.
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Beispiel 1:
Jede zweidimensionale Darstellung dieser 10-gliedrigen kinematischen Kette enthält mindestens ein Paar sich überschneidender Glieder. |
In den hier betrachteten kinematischen Strukturen verbindet jedes Gelenk genau zwei Glieder. Jede Struktur lässt sich deshalb als ungerichteter Graf darstellen, wobei die Glieder die Knoten und die Gelenke die Kanten des Grafen bilden. Eine Struktur lässt sich genau dann überschneidungsfrei in der Ebene darstellen, wenn das der zugehörige Graf auch tut, wenn er also planar ist.
Für Grafen ist nun diesbezüglich ein notwendiges und hinreichendes Kriterium bekannt. Nach [6] ist ein Graf genau dann planar, wenn er keinen der beiden Kuratowski-Grafen enthält:
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Bild 1:
Kuratowski-Grafen |
Die nicht überschneidungsfrei darstellbare kinematische Kette aus Beispiel 1 muss also einen dieser beiden Grafen enthalten. Es ist dies der rechte, wobei die in der Kette schwarz gefärbten Glieder den oberen Knoten im Grafen entsprechen und die grau gefärbten den unteren.
Da also eine überschneidungsfreie Darstellung nicht immer existiert, muss ein wie auch immer gearteter Algorithmus zum Darstellen von kinematischen Strukturen in der Lage sein, auch Überschneidungen von Gliedern darzustellen.
Glieder mit zwei Gelenken unterscheiden sich in der üblichen optischen Darstellung von solchen mit mehr als zwei Gliedern, da sie nur als Linie dargestellt werden statt als Fläche. Eine Überschneidung eines zweigelenkigen Gliedes dürfte deshalb für den Betrachter leichter zu erfassen sein. Ist es also möglich, alle Strukturen, die sich nicht überschneidungsfrei darstellen lassen, ausschließlich mit Überschneidungen darzustellen, bei denen das überschneidende Glied ein zweigelenkiges ist? Nein, leider nicht. Ein Gegenbeispiel lässt sich leicht konstruieren, indem eine nicht überschneidungsfrei darstellbare Struktur durch zusätzliche Glieder mit Gelenken zu allen bislang zweigelenkigen Gliedern erweitert wird. Zweigelenkige Glieder befinden sich dann nur noch unter den hinzugefügten. Würden nur diese überschneiden, könnten sie wieder entfernt werden und die Darstellung der ersten Struktur wäre plötzlich überschneidungsfrei.
Das Resümee aus diesem Abschnitt: Das Ziel bei der Suche nach einer geeigneten Darstellung von Strukturen kann nicht grundsätzlich darin bestehen, eine überschneidungsfreie Darstellung zu finden. Im Allgemeinen kann nur nach einer möglichst überschneidungsarmen Darstellung gesucht werden.
